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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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1. Escribir los primeros términos de cada una de estas series y calcular su suma:
a) ∑n=0∞74n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^{n}}

Respuesta

Para encarar estos ejercicios es imprescindible que primero hayas visto la clase de Serie geométrica. Acá vamos a usar todo lo que vimos en esa clase para poder calcular estas sumas :)

Igual primero arranquemos escribiendo los primeros términos de la serie: Para n=0n = 0: 740=7\frac{7}{4^0} = 7 Para n=1n = 1: 741=74\frac{7}{4^1} = \frac{7}{4} Para n=2n = 2: 742=716\frac{7}{4^2} = \frac{7}{16} Para n=3n = 3: 743=764\frac{7}{4^3} = \frac{7}{64} Entonces, los primeros términos de la serie son:

∑n=0∞74n= 7+74+716+764+…\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^{n}} = 7 + \frac{7}{4} + \frac{7}{16} + \frac{7}{64} + \ldots
Ahora, fijate que nos piden calcular la suma. Automáticamente pensamos en serie geométrica, de la cual sabemos calcular su suma, entonces vamos a intentar reescribir un poco la serie para que resulte obvio cómo hacerlo. La serie que tenemos la podemos reescribir así:
∑n=0∞74n=7⋅∑n=0∞(14)n \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^n} = 7 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n Sabemos que la suma de una serie geométrica ∑n=0∞rn\sum_{n=0}^{\infty} r^n es 11−r\frac{1}{1-r} siempre y cuando ∣r∣<1|r| < 1. En nuestro caso, r=14r = \frac{1}{4}, que cumple con ∣r∣<1|r| < 1. Entonces, podemos calcular la suma de la serie: ∑n=0∞(14)n=11−14=134=43 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} Ahora, no te olvides que teníamos un 77 multiplicando que había salido afuera de la serie: 7∑n=0∞(14)n=7⋅43=283 7 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = 7 \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{3} Por lo tanto, la suma de la serie ∑n=0∞74n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^n} es 283\frac{28}{3}.
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angeles
3 de julio 19:23
holis profe, es necesario escribir los primeros terminos de la serie??
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Flor
PROFE
4 de julio 12:18
@angeles Jajaja por suerte no, acá sólo lo hacemos porque lo pide el ejercicio (y lo pide sólo porque recién arranca la guía) :) Vas a ver que ya después no lo vamos a hacer 
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